3.58 \(\int \frac{(c+d x)^2}{(a+b \cot (e+f x))^2} \, dx\)

Optimal. Leaf size=650 \[ -\frac{2 b^2 d (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{f^2 \left (a^2+b^2\right )^2}-\frac{i b^2 d^2 \text{PolyLog}\left (2,\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{f^3 \left (a^2+b^2\right )^2}-\frac{i b^2 d^2 \text{PolyLog}\left (3,\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{f^3 \left (a^2+b^2\right )^2}-\frac{2 b d (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{f^2 (a+i b)^2 (b+i a)}-\frac{b d^2 \text{PolyLog}\left (3,\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{f^3 (a-i b) (a+i b)^2}+\frac{2 b^2 d (c+d x) \log \left (1-\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{f^2 \left (a^2+b^2\right )^2}-\frac{2 i b^2 (c+d x)^2 \log \left (1-\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{f \left (a^2+b^2\right )^2}-\frac{2 i b^2 (c+d x)^2}{f \left (a^2+b^2\right )^2}-\frac{4 b^2 (c+d x)^3}{3 d \left (a^2+b^2\right )^2}-\frac{2 b^2 (c+d x)^2}{f (a-i b) (a+i b)^2 \left (-(-b+i a) e^{2 i e+2 i f x}+i a+b\right )}-\frac{2 b (c+d x)^2 \log \left (1-\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{f (a-i b) (a+i b)^2}-\frac{4 b (c+d x)^3}{3 d (a+i b)^2 (b+i a)}+\frac{(c+d x)^3}{3 d (a+i b)^2} \]

[Out]

((-2*I)*b^2*(c + d*x)^2)/((a^2 + b^2)^2*f) - (2*b^2*(c + d*x)^2)/((a - I*b)*(a + I*b)^2*(I*a + b - (I*a - b)*E
^((2*I)*e + (2*I)*f*x))*f) + (c + d*x)^3/(3*(a + I*b)^2*d) - (4*b*(c + d*x)^3)/(3*(a + I*b)^2*(I*a + b)*d) - (
4*b^2*(c + d*x)^3)/(3*(a^2 + b^2)^2*d) + (2*b^2*d*(c + d*x)*Log[1 - ((a + I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a - I
*b)])/((a^2 + b^2)^2*f^2) - (2*b*(c + d*x)^2*Log[1 - ((a + I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a - I*b)])/((a - I*b
)*(a + I*b)^2*f) - ((2*I)*b^2*(c + d*x)^2*Log[1 - ((a + I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a - I*b)])/((a^2 + b^2)
^2*f) - (I*b^2*d^2*PolyLog[2, ((a + I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a - I*b)])/((a^2 + b^2)^2*f^3) - (2*b*d*(c
+ d*x)*PolyLog[2, ((a + I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a - I*b)])/((a + I*b)^2*(I*a + b)*f^2) - (2*b^2*d*(c +
d*x)*PolyLog[2, ((a + I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a - I*b)])/((a^2 + b^2)^2*f^2) - (b*d^2*PolyLog[3, ((a +
I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a - I*b)])/((a - I*b)*(a + I*b)^2*f^3) - (I*b^2*d^2*PolyLog[3, ((a + I*b)*E^((2
*I)*e + (2*I)*f*x))/(a - I*b)])/((a^2 + b^2)^2*f^3)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 1.47653, antiderivative size = 650, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 18, number of rules used = 10, integrand size = 20, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.5, Rules used = {3734, 2185, 2184, 2190, 2531, 2282, 6589, 2191, 2279, 2391} \[ -\frac{2 b^2 d (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{f^2 \left (a^2+b^2\right )^2}-\frac{i b^2 d^2 \text{PolyLog}\left (2,\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{f^3 \left (a^2+b^2\right )^2}-\frac{i b^2 d^2 \text{PolyLog}\left (3,\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{f^3 \left (a^2+b^2\right )^2}-\frac{2 b d (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{f^2 (a+i b)^2 (b+i a)}-\frac{b d^2 \text{PolyLog}\left (3,\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{f^3 (a-i b) (a+i b)^2}+\frac{2 b^2 d (c+d x) \log \left (1-\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{f^2 \left (a^2+b^2\right )^2}-\frac{2 i b^2 (c+d x)^2 \log \left (1-\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{f \left (a^2+b^2\right )^2}-\frac{2 i b^2 (c+d x)^2}{f \left (a^2+b^2\right )^2}-\frac{4 b^2 (c+d x)^3}{3 d \left (a^2+b^2\right )^2}-\frac{2 b^2 (c+d x)^2}{f (a-i b) (a+i b)^2 \left (-(-b+i a) e^{2 i e+2 i f x}+i a+b\right )}-\frac{2 b (c+d x)^2 \log \left (1-\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{f (a-i b) (a+i b)^2}-\frac{4 b (c+d x)^3}{3 d (a+i b)^2 (b+i a)}+\frac{(c+d x)^3}{3 d (a+i b)^2} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(c + d*x)^2/(a + b*Cot[e + f*x])^2,x]

[Out]

((-2*I)*b^2*(c + d*x)^2)/((a^2 + b^2)^2*f) - (2*b^2*(c + d*x)^2)/((a - I*b)*(a + I*b)^2*(I*a + b - (I*a - b)*E
^((2*I)*e + (2*I)*f*x))*f) + (c + d*x)^3/(3*(a + I*b)^2*d) - (4*b*(c + d*x)^3)/(3*(a + I*b)^2*(I*a + b)*d) - (
4*b^2*(c + d*x)^3)/(3*(a^2 + b^2)^2*d) + (2*b^2*d*(c + d*x)*Log[1 - ((a + I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a - I
*b)])/((a^2 + b^2)^2*f^2) - (2*b*(c + d*x)^2*Log[1 - ((a + I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a - I*b)])/((a - I*b
)*(a + I*b)^2*f) - ((2*I)*b^2*(c + d*x)^2*Log[1 - ((a + I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a - I*b)])/((a^2 + b^2)
^2*f) - (I*b^2*d^2*PolyLog[2, ((a + I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a - I*b)])/((a^2 + b^2)^2*f^3) - (2*b*d*(c
+ d*x)*PolyLog[2, ((a + I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a - I*b)])/((a + I*b)^2*(I*a + b)*f^2) - (2*b^2*d*(c +
d*x)*PolyLog[2, ((a + I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a - I*b)])/((a^2 + b^2)^2*f^2) - (b*d^2*PolyLog[3, ((a +
I*b)*E^((2*I)*e + (2*I)*f*x))/(a - I*b)])/((a - I*b)*(a + I*b)^2*f^3) - (I*b^2*d^2*PolyLog[3, ((a + I*b)*E^((2
*I)*e + (2*I)*f*x))/(a - I*b)])/((a^2 + b^2)^2*f^3)

Rule 3734

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(
c + d*x)^m, (1/(a - I*b) - (2*I*b)/(a^2 + b^2 + (a - I*b)^2*E^(2*I*(e + f*x))))^(-n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c
, d, e, f}, x] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && ILtQ[n, 0] && IGtQ[m, 0]

Rule 2185

Int[((a_) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.))^(p_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Dis
t[1/a, Int[(c + d*x)^m*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^(p + 1), x], x] - Dist[b/a, Int[(c + d*x)^m*(F^(g*(e + f*x)
))^n*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^p, x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && ILtQ[p, 0] && IGtQ[m, 0
]

Rule 2184

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)/((a_) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)), x_Symbol] :> Simp[(c
+ d*x)^(m + 1)/(a*d*(m + 1)), x] - Dist[b/a, Int[((c + d*x)^m*(F^(g*(e + f*x)))^n)/(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)
, x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2190

Int[(((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) +
(f_.)*(x_))))^(n_.)), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^m*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a])/(b*f*g*n*Log[F]), x]
- Dist[(d*m)/(b*f*g*n*Log[F]), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a], x], x] /; FreeQ[{F,
a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2531

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp[((
f + g*x)^m*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)])/(b*c*n*Log[F]), x] + Dist[(g*m)/(b*c*n*Log[F]), Int[(f + g*x)
^(m - 1)*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 2282

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 6589

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rule 2191

Int[((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)*((a_.) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.))^(p_.)*
((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^m*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^(p + 1))/(b*f*g*n*(p +
1)*Log[F]), x] - Dist[(d*m)/(b*f*g*n*(p + 1)*Log[F]), Int[(c + d*x)^(m - 1)*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^(p + 1
), x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, g, m, n, p}, x] && NeQ[p, -1]

Rule 2279

Int[Log[(a_) + (b_.)*((F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))))^(n_.)], x_Symbol] :> Dist[1/(d*e*n*Log[F]), Subst[Int
[Log[a + b*x]/x, x], x, (F^(e*(c + d*x)))^n], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, n}, x] && GtQ[a, 0]

Rule 2391

Int[Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_.))]/(x_), x_Symbol] :> -Simp[PolyLog[2, -(c*e*x^n)]/n, x] /; FreeQ[{c, d,
e, n}, x] && EqQ[c*d, 1]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{(c+d x)^2}{(a+b \cot (e+f x))^2} \, dx &=\int \left (\frac{(c+d x)^2}{(a+i b)^2}-\frac{4 b^2 (c+d x)^2}{(i a-b)^2 \left (i a \left (1-\frac{i b}{a}\right )-i a \left (1+\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}\right )^2}+\frac{4 b (c+d x)^2}{(a+i b)^2 \left (-i a \left (1-\frac{i b}{a}\right )+i a \left (1+\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}\right )}\right ) \, dx\\ &=\frac{(c+d x)^3}{3 (a+i b)^2 d}+\frac{(4 b) \int \frac{(c+d x)^2}{-i a \left (1-\frac{i b}{a}\right )+i a \left (1+\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}} \, dx}{(a+i b)^2}-\frac{\left (4 b^2\right ) \int \frac{(c+d x)^2}{\left (i a \left (1-\frac{i b}{a}\right )-i a \left (1+\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}\right )^2} \, dx}{(i a-b)^2}\\ &=\frac{(c+d x)^3}{3 (a+i b)^2 d}-\frac{4 b (c+d x)^3}{3 (a+i b)^2 (i a+b) d}+\frac{\left (4 b^2\right ) \int \frac{(c+d x)^2}{i a \left (1-\frac{i b}{a}\right )-i a \left (1+\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}} \, dx}{(a+i b)^2 (i a+b)}+\frac{(4 b) \int \frac{e^{2 i e+2 i f x} (c+d x)^2}{-i a \left (1-\frac{i b}{a}\right )+i a \left (1+\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}} \, dx}{a^2+b^2}+\frac{\left (4 b^2\right ) \int \frac{e^{2 i e+2 i f x} (c+d x)^2}{\left (i a \left (1-\frac{i b}{a}\right )-i a \left (1+\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}\right )^2} \, dx}{a^2+b^2}\\ &=-\frac{2 b^2 (c+d x)^2}{(a+i b) \left (a^2+b^2\right ) \left (i a+b-(i a-b) e^{2 i e+2 i f x}\right ) f}+\frac{(c+d x)^3}{3 (a+i b)^2 d}-\frac{4 b (c+d x)^3}{3 (a+i b)^2 (i a+b) d}-\frac{4 b^2 (c+d x)^3}{3 \left (a^2+b^2\right )^2 d}-\frac{2 b (c+d x)^2 \log \left (1-\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{(a+i b) \left (a^2+b^2\right ) f}+\frac{\left (4 b^2\right ) \int \frac{e^{2 i e+2 i f x} (c+d x)^2}{i a \left (1-\frac{i b}{a}\right )-i a \left (1+\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}} \, dx}{(i a-b) (a-i b)^2}+\frac{(4 b d) \int (c+d x) \log \left (1-\frac{\left (1+\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}}{1-\frac{i b}{a}}\right ) \, dx}{(a+i b) \left (a^2+b^2\right ) f}+\frac{\left (4 b^2 d\right ) \int \frac{c+d x}{i a \left (1-\frac{i b}{a}\right )-i a \left (1+\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}} \, dx}{(a+i b) \left (a^2+b^2\right ) f}\\ &=-\frac{2 i b^2 (c+d x)^2}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}-\frac{2 b^2 (c+d x)^2}{(a+i b) \left (a^2+b^2\right ) \left (i a+b-(i a-b) e^{2 i e+2 i f x}\right ) f}+\frac{(c+d x)^3}{3 (a+i b)^2 d}-\frac{4 b (c+d x)^3}{3 (a+i b)^2 (i a+b) d}-\frac{4 b^2 (c+d x)^3}{3 \left (a^2+b^2\right )^2 d}-\frac{2 i b^2 (c+d x)^2 \log \left (1-\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}-\frac{2 b (c+d x)^2 \log \left (1-\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{(a+i b) \left (a^2+b^2\right ) f}-\frac{2 b d (c+d x) \text{Li}_2\left (\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{(a+i b)^2 (i a+b) f^2}+\frac{\left (2 b d^2\right ) \int \text{Li}_2\left (\frac{\left (1+\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}}{1-\frac{i b}{a}}\right ) \, dx}{(a+i b)^2 (i a+b) f^2}+\frac{\left (4 b^2 d\right ) \int \frac{e^{2 i e+2 i f x} (c+d x)}{i a \left (1-\frac{i b}{a}\right )-i a \left (1+\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}} \, dx}{(a-i b)^2 (a+i b) f}+\frac{\left (4 i b^2 d\right ) \int (c+d x) \log \left (1-\frac{\left (1+\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}}{1-\frac{i b}{a}}\right ) \, dx}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}\\ &=-\frac{2 i b^2 (c+d x)^2}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}-\frac{2 b^2 (c+d x)^2}{(a+i b) \left (a^2+b^2\right ) \left (i a+b-(i a-b) e^{2 i e+2 i f x}\right ) f}+\frac{(c+d x)^3}{3 (a+i b)^2 d}-\frac{4 b (c+d x)^3}{3 (a+i b)^2 (i a+b) d}-\frac{4 b^2 (c+d x)^3}{3 \left (a^2+b^2\right )^2 d}+\frac{2 b^2 d (c+d x) \log \left (1-\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^2}-\frac{2 i b^2 (c+d x)^2 \log \left (1-\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}-\frac{2 b (c+d x)^2 \log \left (1-\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{(a+i b) \left (a^2+b^2\right ) f}-\frac{2 b d (c+d x) \text{Li}_2\left (\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{(a+i b)^2 (i a+b) f^2}-\frac{2 b^2 d (c+d x) \text{Li}_2\left (\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^2}-\frac{\left (b d^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_2\left (\frac{(a+i b) x}{a-i b}\right )}{x} \, dx,x,e^{2 i e+2 i f x}\right )}{(a-i b) (a+i b)^2 f^3}-\frac{\left (2 b^2 d^2\right ) \int \log \left (1-\frac{\left (1+\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}}{1-\frac{i b}{a}}\right ) \, dx}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^2}+\frac{\left (2 b^2 d^2\right ) \int \text{Li}_2\left (\frac{\left (1+\frac{i b}{a}\right ) e^{2 i e+2 i f x}}{1-\frac{i b}{a}}\right ) \, dx}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^2}\\ &=-\frac{2 i b^2 (c+d x)^2}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}-\frac{2 b^2 (c+d x)^2}{(a+i b) \left (a^2+b^2\right ) \left (i a+b-(i a-b) e^{2 i e+2 i f x}\right ) f}+\frac{(c+d x)^3}{3 (a+i b)^2 d}-\frac{4 b (c+d x)^3}{3 (a+i b)^2 (i a+b) d}-\frac{4 b^2 (c+d x)^3}{3 \left (a^2+b^2\right )^2 d}+\frac{2 b^2 d (c+d x) \log \left (1-\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^2}-\frac{2 i b^2 (c+d x)^2 \log \left (1-\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}-\frac{2 b (c+d x)^2 \log \left (1-\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{(a+i b) \left (a^2+b^2\right ) f}-\frac{2 b d (c+d x) \text{Li}_2\left (\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{(a+i b)^2 (i a+b) f^2}-\frac{2 b^2 d (c+d x) \text{Li}_2\left (\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^2}-\frac{b d^2 \text{Li}_3\left (\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{(a-i b) (a+i b)^2 f^3}+\frac{\left (i b^2 d^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log \left (1-\frac{\left (1+\frac{i b}{a}\right ) x}{1-\frac{i b}{a}}\right )}{x} \, dx,x,e^{2 i e+2 i f x}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^3}-\frac{\left (i b^2 d^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_2\left (\frac{(a+i b) x}{a-i b}\right )}{x} \, dx,x,e^{2 i e+2 i f x}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^3}\\ &=-\frac{2 i b^2 (c+d x)^2}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}-\frac{2 b^2 (c+d x)^2}{(a+i b) \left (a^2+b^2\right ) \left (i a+b-(i a-b) e^{2 i e+2 i f x}\right ) f}+\frac{(c+d x)^3}{3 (a+i b)^2 d}-\frac{4 b (c+d x)^3}{3 (a+i b)^2 (i a+b) d}-\frac{4 b^2 (c+d x)^3}{3 \left (a^2+b^2\right )^2 d}+\frac{2 b^2 d (c+d x) \log \left (1-\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^2}-\frac{2 i b^2 (c+d x)^2 \log \left (1-\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}-\frac{2 b (c+d x)^2 \log \left (1-\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{(a+i b) \left (a^2+b^2\right ) f}-\frac{i b^2 d^2 \text{Li}_2\left (\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^3}-\frac{2 b d (c+d x) \text{Li}_2\left (\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{(a+i b)^2 (i a+b) f^2}-\frac{2 b^2 d (c+d x) \text{Li}_2\left (\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^2}-\frac{b d^2 \text{Li}_3\left (\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{(a-i b) (a+i b)^2 f^3}-\frac{i b^2 d^2 \text{Li}_3\left (\frac{(a+i b) e^{2 i e+2 i f x}}{a-i b}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 f^3}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 8.33057, size = 718, normalized size = 1.1 \[ \frac{\frac{-f x \left (a^2+b^2\right ) \left (3 c^2+3 c d x+d^2 x^2\right ) \cos (2 e+f x)+f x \left (a^2-b^2\right ) \left (3 c^2+3 c d x+d^2 x^2\right ) \cos (f x)+2 b \sin (f x) \left (3 b (c+d x)^2-a f x \left (3 c^2+3 c d x+d^2 x^2\right )\right )}{(a \sin (e)+b \cos (e)) (a \sin (e+f x)+b \cos (e+f x))}+\frac{2 b \left (\frac{3 d \left (a \left (-1+e^{2 i e}\right )+i b \left (1+e^{2 i e}\right )\right ) (b d-2 a c f) \text{PolyLog}\left (2,\frac{(a-i b) e^{-2 i (e+f x)}}{a+i b}\right )}{f^2 \left (a^2+b^2\right )}-\frac{3 a d^2 \left (a \left (-1+e^{2 i e}\right )+i b \left (1+e^{2 i e}\right )\right ) \left (2 f x \text{PolyLog}\left (2,\frac{(a-i b) e^{-2 i (e+f x)}}{a+i b}\right )-i \text{PolyLog}\left (3,\frac{(a-i b) e^{-2 i (e+f x)}}{a+i b}\right )\right )}{f^2 \left (a^2+b^2\right )}+\frac{6 c \left (a \left (-1+e^{2 i e}\right )+i b \left (1+e^{2 i e}\right )\right ) (a c f-b d) \left (2 f x+i \log \left (-(a+i b) e^{2 i (e+f x)}+a-i b\right )\right )}{f \left (a^2+b^2\right )}-\frac{6 d x \left (a \left (-1+e^{2 i e}\right )+i b \left (1+e^{2 i e}\right )\right ) (b d-2 a c f) \log \left (1+\frac{(-a+i b) e^{-2 i (e+f x)}}{a+i b}\right )}{f (a-i b) (b-i a)}+\frac{6 d x^2 (2 a c f-b d)}{a+i b}+\frac{12 c x (a c f-b d)}{a+i b}+\frac{6 a d^2 x^2 \left (a \left (-1+e^{2 i e}\right )+i b \left (1+e^{2 i e}\right )\right ) \log \left (1+\frac{(-a+i b) e^{-2 i (e+f x)}}{a+i b}\right )}{(a-i b) (b-i a)}+\frac{4 a d^2 f x^3}{a+i b}\right )}{b \left (1+e^{2 i e}\right )-i a \left (-1+e^{2 i e}\right )}}{6 f \left (a^2+b^2\right )} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(c + d*x)^2/(a + b*Cot[e + f*x])^2,x]

[Out]

((2*b*((12*c*(-(b*d) + a*c*f)*x)/(a + I*b) + (6*d*(-(b*d) + 2*a*c*f)*x^2)/(a + I*b) + (4*a*d^2*f*x^3)/(a + I*b
) - (6*d*(a*(-1 + E^((2*I)*e)) + I*b*(1 + E^((2*I)*e)))*(b*d - 2*a*c*f)*x*Log[1 + (-a + I*b)/((a + I*b)*E^((2*
I)*(e + f*x)))])/((a - I*b)*((-I)*a + b)*f) + (6*a*d^2*(a*(-1 + E^((2*I)*e)) + I*b*(1 + E^((2*I)*e)))*x^2*Log[
1 + (-a + I*b)/((a + I*b)*E^((2*I)*(e + f*x)))])/((a - I*b)*((-I)*a + b)) + (6*c*(a*(-1 + E^((2*I)*e)) + I*b*(
1 + E^((2*I)*e)))*(-(b*d) + a*c*f)*(2*f*x + I*Log[a - I*b - (a + I*b)*E^((2*I)*(e + f*x))]))/((a^2 + b^2)*f) +
(3*d*(a*(-1 + E^((2*I)*e)) + I*b*(1 + E^((2*I)*e)))*(b*d - 2*a*c*f)*PolyLog[2, (a - I*b)/((a + I*b)*E^((2*I)*
(e + f*x)))])/((a^2 + b^2)*f^2) - (3*a*d^2*(a*(-1 + E^((2*I)*e)) + I*b*(1 + E^((2*I)*e)))*(2*f*x*PolyLog[2, (a
- I*b)/((a + I*b)*E^((2*I)*(e + f*x)))] - I*PolyLog[3, (a - I*b)/((a + I*b)*E^((2*I)*(e + f*x)))]))/((a^2 + b
^2)*f^2)))/((-I)*a*(-1 + E^((2*I)*e)) + b*(1 + E^((2*I)*e))) + ((a^2 - b^2)*f*x*(3*c^2 + 3*c*d*x + d^2*x^2)*Co
s[f*x] - (a^2 + b^2)*f*x*(3*c^2 + 3*c*d*x + d^2*x^2)*Cos[2*e + f*x] + 2*b*(3*b*(c + d*x)^2 - a*f*x*(3*c^2 + 3*
c*d*x + d^2*x^2))*Sin[f*x])/((b*Cos[e] + a*Sin[e])*(b*Cos[e + f*x] + a*Sin[e + f*x])))/(6*(a^2 + b^2)*f)

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.63, size = 2137, normalized size = 3.3 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((d*x+c)^2/(a+b*cot(f*x+e))^2,x)

[Out]

1/(2*I*a*b+a^2-b^2)*c*d*x^2-4*b^2/(I*a+b)/f^2/(b-I*a)^2*a*c*d*e/(I*b-a)/(a+I*b)*ln(a*exp(2*I*(f*x+e))+I*exp(2*
I*(f*x+e))*b-a+I*b)+1/3/(2*I*a*b+a^2-b^2)*d^2*x^3+1/(2*I*a*b+a^2-b^2)*c^2*x+I*b/(I*a+b)/f^3/(b-I*a)^2*a*d^2/(a
-I*b)*polylog(3,(a+I*b)*exp(2*I*(f*x+e))/(a-I*b))-2*b^3/(I*a+b)/f^2/(b-I*a)^2*c*d/(I*b-a)/(a+I*b)*ln(a*exp(2*I
*(f*x+e))+I*exp(2*I*(f*x+e))*b-a+I*b)+2*b/(I*a+b)/f^2/(b-I*a)^2*a*c*d/(a-I*b)*polylog(2,(a+I*b)*exp(2*I*(f*x+e
))/(a-I*b))+4*b/(I*a+b)/f^2/(b-I*a)^2*a*c*d/(a-I*b)*e^2-4*b/(I*a+b)/f^2/(b-I*a)^2*a*d^2/(a-I*b)*e^2*x+2*b^3/(I
*a+b)/f^3/(b-I*a)^2*d^2*e/(I*b-a)/(a+I*b)*ln(a*exp(2*I*(f*x+e))+I*exp(2*I*(f*x+e))*b-a+I*b)+2*b^2/(I*a+b)/f/(b
-I*a)^2*a*c^2/(I*b-a)/(a+I*b)*ln(a*exp(2*I*(f*x+e))+I*exp(2*I*(f*x+e))*b-a+I*b)+2*b/(I*a+b)/f^2/(b-I*a)^2*a*d^
2/(a-I*b)*polylog(2,(a+I*b)*exp(2*I*(f*x+e))/(a-I*b))*x-4*I*b^2/(I*a+b)/f^2/(b-I*a)^2*c*d/(I*b-a)*ln(exp(I*(f*
x+e)))+4*I*b/(I*a+b)/f/(b-I*a)^2*a*c^2/(I*b-a)*ln(exp(I*(f*x+e)))-2*I*b^2/(I*a+b)/f^2/(b-I*a)^2*d^2/(a-I*b)*ln
(1-(a+I*b)*exp(2*I*(f*x+e))/(a-I*b))*x+2*I*b^2*(d^2*x^2+2*c*d*x+c^2)/(I*a+b)/f/(b-I*a)^2/(b*exp(2*I*(f*x+e))-I
*exp(2*I*(f*x+e))*a+b+I*a)+2*b^2/(I*a+b)/f^3/(b-I*a)^2*a*d^2*e^2/(I*b-a)/(a+I*b)*ln(a*exp(2*I*(f*x+e))+I*exp(2
*I*(f*x+e))*b-a+I*b)+8*b/(I*a+b)/f/(b-I*a)^2*a*c*d/(a-I*b)*e*x-2*I*b/(I*a+b)/f/(b-I*a)^2*a^2*c^2/(I*b-a)/(a+I*
b)*ln(a*exp(2*I*(f*x+e))+I*exp(2*I*(f*x+e))*b-a+I*b)+4*I*b/(I*a+b)/f^3/(b-I*a)^2*a*d^2*e^2/(I*b-a)*ln(exp(I*(f
*x+e)))+2*I*b/(I*a+b)/f/(b-I*a)^2*a*d^2/(a-I*b)*ln(1-(a+I*b)*exp(2*I*(f*x+e))/(a-I*b))*x^2+4*I*b/(I*a+b)/f/(b-
I*a)^2*a*c*d/(a-I*b)*ln(1-(a+I*b)*exp(2*I*(f*x+e))/(a-I*b))*x+2*I*b^2/(I*a+b)/f^2/(b-I*a)^2*c*d/(I*b-a)/(a+I*b
)*ln(a*exp(2*I*(f*x+e))+I*exp(2*I*(f*x+e))*b-a+I*b)*a-2*I*b/(I*a+b)/f^3/(b-I*a)^2*a^2*d^2*e^2/(I*b-a)/(a+I*b)*
ln(a*exp(2*I*(f*x+e))+I*exp(2*I*(f*x+e))*b-a+I*b)-8*I*b/(I*a+b)/f^2/(b-I*a)^2*a*c*d*e/(I*b-a)*ln(exp(I*(f*x+e)
))+4*I*b/(I*a+b)/f^2/(b-I*a)^2*a*c*d/(a-I*b)*ln(1-(a+I*b)*exp(2*I*(f*x+e))/(a-I*b))*e-2*I*b^2/(I*a+b)/f^3/(b-I
*a)^2*d^2*e/(I*b-a)/(a+I*b)*ln(a*exp(2*I*(f*x+e))+I*exp(2*I*(f*x+e))*b-a+I*b)*a-8/3*b/(I*a+b)/f^3/(b-I*a)^2*a*
d^2/(a-I*b)*e^3+4*b/(I*a+b)/(b-I*a)^2*a*c*d/(a-I*b)*x^2-4*b^2/(I*a+b)/f^2/(b-I*a)^2*d^2/(a-I*b)*e*x-2*I*b/(I*a
+b)/f^3/(b-I*a)^2*a*d^2/(a-I*b)*ln(1-(a+I*b)*exp(2*I*(f*x+e))/(a-I*b))*e^2+4/3*b/(I*a+b)/(b-I*a)^2*a*d^2/(a-I*
b)*x^3-b^2/(I*a+b)/f^3/(b-I*a)^2*d^2/(a-I*b)*polylog(2,(a+I*b)*exp(2*I*(f*x+e))/(a-I*b))-2*b^2/(I*a+b)/f/(b-I*
a)^2*d^2/(a-I*b)*x^2-2*b^2/(I*a+b)/f^3/(b-I*a)^2*d^2/(a-I*b)*e^2+4*I*b^2/(I*a+b)/f^3/(b-I*a)^2*d^2*e/(I*b-a)*l
n(exp(I*(f*x+e)))-2*I*b^2/(I*a+b)/f^3/(b-I*a)^2*d^2/(a-I*b)*ln(1-(a+I*b)*exp(2*I*(f*x+e))/(a-I*b))*e+4*I*b/(I*
a+b)/f^2/(b-I*a)^2*a^2*c*d*e/(I*b-a)/(a+I*b)*ln(a*exp(2*I*(f*x+e))+I*exp(2*I*(f*x+e))*b-a+I*b)

________________________________________________________________________________________

Maxima [B]  time = 5.95668, size = 3487, normalized size = 5.36 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^2/(a+b*cot(f*x+e))^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

(2*(b^2/((a^4 + a^2*b^2)*f*tan(f*x + e) + (a^3*b + a*b^3)*f) + 2*a*b*log(a*tan(f*x + e) + b)/((a^4 + 2*a^2*b^2
+ b^4)*f) - a*b*log(tan(f*x + e)^2 + 1)/((a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*f) - (a^2 - b^2)*(f*x + e)/((a^4 + 2*a^2*b^2
+ b^4)*f))*c*d*e - (2*a*b*log(a*tan(f*x + e) + b)/(a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4) - a*b*log(tan(f*x + e)^2 + 1)/(a^4
+ 2*a^2*b^2 + b^4) - (a^2 - b^2)*(f*x + e)/(a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4) + b^2/(a^3*b + a*b^3 + (a^4 + a^2*b^2)*tan(
f*x + e)))*c^2 - ((a^3 + I*a^2*b + a*b^2 + I*b^3)*(f*x + e)^3*d^2 + (3*a^3 + 3*I*a^2*b + 3*a*b^2 + 3*I*b^3)*(f
*x + e)*d^2*e^2 - (-6*I*a*b^2 - 6*b^3)*d^2*e^2 - ((3*a^3 + 3*I*a^2*b + 3*a*b^2 + 3*I*b^3)*d^2*e - (3*a^3 + 3*I
*a^2*b + 3*a*b^2 + 3*I*b^3)*c*d*f)*(f*x + e)^2 - ((6*I*a^2*b + 6*a*b^2)*d^2*e^2 + (6*I*a*b^2 + 6*b^3)*d^2*e +
(-6*I*a*b^2 - 6*b^3)*c*d*f + ((-6*I*a^2*b + 6*a*b^2)*d^2*e^2 + (-6*I*a*b^2 + 6*b^3)*d^2*e + (6*I*a*b^2 - 6*b^3
)*c*d*f)*cos(2*f*x + 2*e) + 6*((a^2*b + I*a*b^2)*d^2*e^2 + (a*b^2 + I*b^3)*d^2*e - (a*b^2 + I*b^3)*c*d*f)*sin(
2*f*x + 2*e))*arctan2(b*cos(2*f*x + 2*e) + a*sin(2*f*x + 2*e) + b, a*cos(2*f*x + 2*e) - b*sin(2*f*x + 2*e) - a
) - ((6*I*a^2*b + 6*a*b^2)*(f*x + e)^2*d^2 + ((-12*I*a^2*b - 12*a*b^2)*d^2*e + (12*I*a^2*b + 12*a*b^2)*c*d*f +
(-6*I*a*b^2 - 6*b^3)*d^2)*(f*x + e) + ((-6*I*a^2*b + 6*a*b^2)*(f*x + e)^2*d^2 + ((12*I*a^2*b - 12*a*b^2)*d^2*
e + (-12*I*a^2*b + 12*a*b^2)*c*d*f + (6*I*a*b^2 - 6*b^3)*d^2)*(f*x + e))*cos(2*f*x + 2*e) + 6*((a^2*b + I*a*b^
2)*(f*x + e)^2*d^2 - (2*(a^2*b + I*a*b^2)*d^2*e - 2*(a^2*b + I*a*b^2)*c*d*f + (a*b^2 + I*b^3)*d^2)*(f*x + e))*
sin(2*f*x + 2*e))*arctan2(-(2*a*b*cos(2*f*x + 2*e) + (a^2 - b^2)*sin(2*f*x + 2*e))/(a^2 + b^2), (2*a*b*sin(2*f
*x + 2*e) + a^2 + b^2 - (a^2 - b^2)*cos(2*f*x + 2*e))/(a^2 + b^2)) - ((a^3 + 3*I*a^2*b - 3*a*b^2 - I*b^3)*(f*x
+ e)^3*d^2 - ((3*a^3 + 9*I*a^2*b - 9*a*b^2 - 3*I*b^3)*d^2*e - (3*a^3 + 9*I*a^2*b - 9*a*b^2 - 3*I*b^3)*c*d*f -
(-6*I*a*b^2 + 6*b^3)*d^2)*(f*x + e)^2 + ((3*a^3 + 9*I*a^2*b - 9*a*b^2 - 3*I*b^3)*d^2*e^2 + (12*I*a*b^2 - 12*b
^3)*d^2*e + (-12*I*a*b^2 + 12*b^3)*c*d*f)*(f*x + e))*cos(2*f*x + 2*e) - ((-6*I*a^2*b - 6*a*b^2)*(f*x + e)*d^2
+ (6*I*a^2*b + 6*a*b^2)*d^2*e + (-6*I*a^2*b - 6*a*b^2)*c*d*f + (3*I*a*b^2 + 3*b^3)*d^2 + ((6*I*a^2*b - 6*a*b^2
)*(f*x + e)*d^2 + (-6*I*a^2*b + 6*a*b^2)*d^2*e + (6*I*a^2*b - 6*a*b^2)*c*d*f + (-3*I*a*b^2 + 3*b^3)*d^2)*cos(2
*f*x + 2*e) - 3*(2*(a^2*b + I*a*b^2)*(f*x + e)*d^2 - 2*(a^2*b + I*a*b^2)*d^2*e + 2*(a^2*b + I*a*b^2)*c*d*f - (
a*b^2 + I*b^3)*d^2)*sin(2*f*x + 2*e))*dilog((I*a - b)*e^(2*I*f*x + 2*I*e)/(I*a + b)) - (3*(a^2*b - I*a*b^2)*d^
2*e^2 + 3*(a*b^2 - I*b^3)*d^2*e - 3*(a*b^2 - I*b^3)*c*d*f - 3*((a^2*b + I*a*b^2)*d^2*e^2 + (a*b^2 + I*b^3)*d^2
*e - (a*b^2 + I*b^3)*c*d*f)*cos(2*f*x + 2*e) + ((-3*I*a^2*b + 3*a*b^2)*d^2*e^2 + (-3*I*a*b^2 + 3*b^3)*d^2*e +
(3*I*a*b^2 - 3*b^3)*c*d*f)*sin(2*f*x + 2*e))*log((a^2 + b^2)*cos(2*f*x + 2*e)^2 + 4*a*b*sin(2*f*x + 2*e) + (a^
2 + b^2)*sin(2*f*x + 2*e)^2 + a^2 + b^2 - 2*(a^2 - b^2)*cos(2*f*x + 2*e)) - (3*(a^2*b - I*a*b^2)*(f*x + e)^2*d
^2 - 3*(2*(a^2*b - I*a*b^2)*d^2*e - 2*(a^2*b - I*a*b^2)*c*d*f + (a*b^2 - I*b^3)*d^2)*(f*x + e) - 3*((a^2*b + I
*a*b^2)*(f*x + e)^2*d^2 - (2*(a^2*b + I*a*b^2)*d^2*e - 2*(a^2*b + I*a*b^2)*c*d*f + (a*b^2 + I*b^3)*d^2)*(f*x +
e))*cos(2*f*x + 2*e) + ((-3*I*a^2*b + 3*a*b^2)*(f*x + e)^2*d^2 + ((6*I*a^2*b - 6*a*b^2)*d^2*e + (-6*I*a^2*b +
6*a*b^2)*c*d*f + (3*I*a*b^2 - 3*b^3)*d^2)*(f*x + e))*sin(2*f*x + 2*e))*log(((a^2 + b^2)*cos(2*f*x + 2*e)^2 +
4*a*b*sin(2*f*x + 2*e) + (a^2 + b^2)*sin(2*f*x + 2*e)^2 + a^2 + b^2 - 2*(a^2 - b^2)*cos(2*f*x + 2*e))/(a^2 + b
^2)) + (3*(a^2*b + I*a*b^2)*d^2*cos(2*f*x + 2*e) - (-3*I*a^2*b + 3*a*b^2)*d^2*sin(2*f*x + 2*e) - 3*(a^2*b - I*
a*b^2)*d^2)*polylog(3, (I*a - b)*e^(2*I*f*x + 2*I*e)/(I*a + b)) - ((I*a^3 - 3*a^2*b - 3*I*a*b^2 + b^3)*(f*x +
e)^3*d^2 + ((-3*I*a^3 + 9*a^2*b + 9*I*a*b^2 - 3*b^3)*d^2*e + (3*I*a^3 - 9*a^2*b - 9*I*a*b^2 + 3*b^3)*c*d*f + 6
*(a*b^2 + I*b^3)*d^2)*(f*x + e)^2 + ((3*I*a^3 - 9*a^2*b - 9*I*a*b^2 + 3*b^3)*d^2*e^2 - 12*(a*b^2 + I*b^3)*d^2*
e + 12*(a*b^2 + I*b^3)*c*d*f)*(f*x + e))*sin(2*f*x + 2*e))/((3*a^5 + 3*I*a^4*b + 6*a^3*b^2 + 6*I*a^2*b^3 + 3*a
*b^4 + 3*I*b^5)*f^2*cos(2*f*x + 2*e) - (-3*I*a^5 + 3*a^4*b - 6*I*a^3*b^2 + 6*a^2*b^3 - 3*I*a*b^4 + 3*b^5)*f^2*
sin(2*f*x + 2*e) - (3*a^5 - 3*I*a^4*b + 6*a^3*b^2 - 6*I*a^2*b^3 + 3*a*b^4 - 3*I*b^5)*f^2))/f

________________________________________________________________________________________

Fricas [C]  time = 2.52888, size = 4415, normalized size = 6.79 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^2/(a+b*cot(f*x+e))^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

1/6*(2*(a^2*b - b^3)*d^2*f^3*x^3 - 6*a*b^2*c^2*f^2 - 6*(a*b^2*d^2*f^2 - (a^2*b - b^3)*c*d*f^3)*x^2 - 6*(2*a*b^
2*c*d*f^2 - (a^2*b - b^3)*c^2*f^3)*x + 2*((a^2*b - b^3)*d^2*f^3*x^3 - 3*a*b^2*c^2*f^2 - 3*(a*b^2*d^2*f^2 - (a^
2*b - b^3)*c*d*f^3)*x^2 - 3*(2*a*b^2*c*d*f^2 - (a^2*b - b^3)*c^2*f^3)*x)*cos(2*f*x + 2*e) + (6*I*a*b^2*d^2*f*x
+ 6*I*a*b^2*c*d*f - 3*I*b^3*d^2 + (6*I*a*b^2*d^2*f*x + 6*I*a*b^2*c*d*f - 3*I*b^3*d^2)*cos(2*f*x + 2*e) + (6*I
*a^2*b*d^2*f*x + 6*I*a^2*b*c*d*f - 3*I*a*b^2*d^2)*sin(2*f*x + 2*e))*dilog(-(a^2 + b^2 - (a^2 + 2*I*a*b - b^2)*
cos(2*f*x + 2*e) + (-I*a^2 + 2*a*b + I*b^2)*sin(2*f*x + 2*e))/(a^2 + b^2) + 1) + (-6*I*a*b^2*d^2*f*x - 6*I*a*b
^2*c*d*f + 3*I*b^3*d^2 + (-6*I*a*b^2*d^2*f*x - 6*I*a*b^2*c*d*f + 3*I*b^3*d^2)*cos(2*f*x + 2*e) + (-6*I*a^2*b*d
^2*f*x - 6*I*a^2*b*c*d*f + 3*I*a*b^2*d^2)*sin(2*f*x + 2*e))*dilog(-(a^2 + b^2 - (a^2 - 2*I*a*b - b^2)*cos(2*f*
x + 2*e) + (I*a^2 + 2*a*b - I*b^2)*sin(2*f*x + 2*e))/(a^2 + b^2) + 1) - 6*(a*b^2*d^2*e^2 + a*b^2*c^2*f^2 + b^3
*d^2*e - (2*a*b^2*c*d*e + b^3*c*d)*f + (a*b^2*d^2*e^2 + a*b^2*c^2*f^2 + b^3*d^2*e - (2*a*b^2*c*d*e + b^3*c*d)*
f)*cos(2*f*x + 2*e) + (a^2*b*d^2*e^2 + a^2*b*c^2*f^2 + a*b^2*d^2*e - (2*a^2*b*c*d*e + a*b^2*c*d)*f)*sin(2*f*x
+ 2*e))*log(1/2*a^2 + I*a*b - 1/2*b^2 - 1/2*(a^2 + b^2)*cos(2*f*x + 2*e) + 1/2*(I*a^2 + I*b^2)*sin(2*f*x + 2*e
)) - 6*(a*b^2*d^2*e^2 + a*b^2*c^2*f^2 + b^3*d^2*e - (2*a*b^2*c*d*e + b^3*c*d)*f + (a*b^2*d^2*e^2 + a*b^2*c^2*f
^2 + b^3*d^2*e - (2*a*b^2*c*d*e + b^3*c*d)*f)*cos(2*f*x + 2*e) + (a^2*b*d^2*e^2 + a^2*b*c^2*f^2 + a*b^2*d^2*e
- (2*a^2*b*c*d*e + a*b^2*c*d)*f)*sin(2*f*x + 2*e))*log(-1/2*a^2 + I*a*b + 1/2*b^2 + 1/2*(a^2 + b^2)*cos(2*f*x
+ 2*e) + 1/2*(I*a^2 + I*b^2)*sin(2*f*x + 2*e)) - 6*(a*b^2*d^2*f^2*x^2 - a*b^2*d^2*e^2 + 2*a*b^2*c*d*e*f - b^3*
d^2*e + (2*a*b^2*c*d*f^2 - b^3*d^2*f)*x + (a*b^2*d^2*f^2*x^2 - a*b^2*d^2*e^2 + 2*a*b^2*c*d*e*f - b^3*d^2*e + (
2*a*b^2*c*d*f^2 - b^3*d^2*f)*x)*cos(2*f*x + 2*e) + (a^2*b*d^2*f^2*x^2 - a^2*b*d^2*e^2 + 2*a^2*b*c*d*e*f - a*b^
2*d^2*e + (2*a^2*b*c*d*f^2 - a*b^2*d^2*f)*x)*sin(2*f*x + 2*e))*log((a^2 + b^2 - (a^2 + 2*I*a*b - b^2)*cos(2*f*
x + 2*e) + (-I*a^2 + 2*a*b + I*b^2)*sin(2*f*x + 2*e))/(a^2 + b^2)) - 6*(a*b^2*d^2*f^2*x^2 - a*b^2*d^2*e^2 + 2*
a*b^2*c*d*e*f - b^3*d^2*e + (2*a*b^2*c*d*f^2 - b^3*d^2*f)*x + (a*b^2*d^2*f^2*x^2 - a*b^2*d^2*e^2 + 2*a*b^2*c*d
*e*f - b^3*d^2*e + (2*a*b^2*c*d*f^2 - b^3*d^2*f)*x)*cos(2*f*x + 2*e) + (a^2*b*d^2*f^2*x^2 - a^2*b*d^2*e^2 + 2*
a^2*b*c*d*e*f - a*b^2*d^2*e + (2*a^2*b*c*d*f^2 - a*b^2*d^2*f)*x)*sin(2*f*x + 2*e))*log((a^2 + b^2 - (a^2 - 2*I
*a*b - b^2)*cos(2*f*x + 2*e) + (I*a^2 + 2*a*b - I*b^2)*sin(2*f*x + 2*e))/(a^2 + b^2)) - 3*(a*b^2*d^2*cos(2*f*x
+ 2*e) + a^2*b*d^2*sin(2*f*x + 2*e) + a*b^2*d^2)*polylog(3, ((a^2 + 2*I*a*b - b^2)*cos(2*f*x + 2*e) + (I*a^2
- 2*a*b - I*b^2)*sin(2*f*x + 2*e))/(a^2 + b^2)) - 3*(a*b^2*d^2*cos(2*f*x + 2*e) + a^2*b*d^2*sin(2*f*x + 2*e) +
a*b^2*d^2)*polylog(3, ((a^2 - 2*I*a*b - b^2)*cos(2*f*x + 2*e) + (-I*a^2 - 2*a*b + I*b^2)*sin(2*f*x + 2*e))/(a
^2 + b^2)) + 2*((a^3 - a*b^2)*d^2*f^3*x^3 + 3*b^3*c^2*f^2 + 3*(b^3*d^2*f^2 + (a^3 - a*b^2)*c*d*f^3)*x^2 + 3*(2
*b^3*c*d*f^2 + (a^3 - a*b^2)*c^2*f^3)*x)*sin(2*f*x + 2*e))/((a^4*b + 2*a^2*b^3 + b^5)*f^3*cos(2*f*x + 2*e) + (
a^5 + 2*a^3*b^2 + a*b^4)*f^3*sin(2*f*x + 2*e) + (a^4*b + 2*a^2*b^3 + b^5)*f^3)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)**2/(a+b*cot(f*x+e))**2,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{{\left (d x + c\right )}^{2}}{{\left (b \cot \left (f x + e\right ) + a\right )}^{2}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^2/(a+b*cot(f*x+e))^2,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((d*x + c)^2/(b*cot(f*x + e) + a)^2, x)